文章目录
  1. 1. 椭圆的光学性质
  2. 2. 一个更有趣的解释
  3. 3. 其他一些有趣的推广

突然想起很久之前,在其他地方贴过一个关于椭圆光学性质的文章。直到今天想来,这个解释仍然是十分直观和有趣。当时我以为这样一个解释方式是「本质的」,但经同学提醒,用「直观」这个词或许会更准确。

虽然文章说的是椭圆,但是放在更一般的圆锥曲线上基本上也都适用。

椭圆的光学性质

在圆锥曲线的性质中,我们常常会见到下面这样一张图:从椭圆的一个焦点入射的光线,经过椭圆壁的反射后,会通过另一个焦点。

椭圆的光学性质

当然在其他一些圆锥曲线,比如抛物线或是双曲线中,也会有一些类似的性质,大抵都是从焦点发出的光线怎样怎样等。

但是为什么?

显然,可以通过数学来证明这一点,即反射处(图为P点)的入射光线和出射光线,与该点处的切线夹角相等。证明过程这里省略,虽然有些曲折,但是也不算是难以理解的问题。

问题在于,我通过一堆数学证明结果后,仍然对此答案感到不满意。对于我来说,这种数学证明只是相当于将问题向数学方向上退了一步,把原问题换成了数学描述而已。我仍然可以继续追问下去:为什么这么巧合,入射角和反射角经过数学计算后正好相等?

我想知道的是「为什么椭圆会有这样的特质」,而不是「证明椭圆有这样的特质」。正如王垠在原因与证明里说的那样。其实这里想表达的还是「直推因」和「目的因」的区别。

那么我不通过这么复杂的证明能否提前预知到这一点?

一个更有趣的解释

纠结于这个问题以及椭圆的这些奇妙性质,高中的时候我想了好久。

突然有一天我注意到了数学课本上椭圆的画法:将绳子固定在两颗钉子上,用笔尖把绳子拉紧,绕钉子一周,则得到一个椭圆。

椭圆的画法

仔细想发现这个描述很有意思,它具有了两个隐含的事实:

第一个内容很明显,也算是椭圆的定义:椭圆上任意一点到两焦点的距离之和恒定。

第二个内容则比较隐蔽,可以从物理学角度来分析这个画椭圆的过程:在画椭圆的时候,对于任何一个切线点,笔尖两端的力是相等的,那么必然有入射角等于反射角这个性质,不然绳子不会平衡(而是会滑动)。由此可以预想到,计算的结果也会是这样。

至此,“为什么”的问题才算有了个“直观上的”解释。

其他一些有趣的推广

上面的思路可以推广到圆锥曲线中去,即便对于椭圆本身也有一些扩展,比如两颗钉子的距离调整,比如当两颗钉子重合的时候会如何?答案是显而易见的。

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  1. 1. 椭圆的光学性质
  2. 2. 一个更有趣的解释
  3. 3. 其他一些有趣的推广